Diagrama de oso panda

El origami es una técnica ancestral que nos permite realizar las manualidades con papel más diversas. Así, podemos crear fácilmente barcos de papel o toda clase de animales, como por ejemplo dinosaurios de papel.

Sin duda, es una actividad con niños muy divertida e ideal para disfrutar en familia de las frías tardes de invierno o un día de verano con lluvia. ¿Os animáis a preparar animales con papel? ¡A los peques les encantará!

Os recomendamos estas manualidades para niños mayores de 5 años, ya que a esa edad tienen la capacidad motriz necesaria para realizar los pliegues del origami. Por supuesto, podéis intentarlo con niños más pequeños, pero posiblemente se frustren al no poder realizar el trabajo ellos solitos.

Veamos cómo hacer una cara de perrito con papel. Para ello, necesitáis un cuadrado de papel de color (el que más os guste).

Artículo escrito por Liliana Rodríguez

Matemáticas en el origami

Teorema de Maekawas

Ya desde la misma invención del papel se estaba haciendo ciencia sin saberlo, por casualidad, pero la tecnología, buscaba por necesidad un productoflexible y duradero para escribir. Tratando de encontrar sus funcionalidades le inspiró al hombre este invento.

El origami también tiene una vertiente científica, dependiendo de las preferencias de cada plegador, o de su sistema de creación. Los pliegues no son más que operaciones de simetría, a veces bastante complejas, y pueden ser ideadas y estudiadas metodológicamente en términos geométricos. El carácter matemático que pueda tener el plegado de papel no está reñido con el lado artístico, aunque tampoco tiene por qué coincidir. Por ejemplo del aspecto científico del origami, podemos mencionar a los aficionados que se dedican a demostrar teoremas geométricos utilizando sólo el papel y las hipótesis a punto de ser teoremas, incluso hay trabajos publicados sobre la resolución de ecuaciones de 3^er grado sólo doblando el papel. Como consecuencia lógica de este campo es la versatilidad que ha dado el origami a la enseñanza en las clases de matemáticas a nivel preuniversitario. Además, el origami ofrece un ingrediente especial, en tanto se incentive al practicante a crear sus propios modelos, se estará despertando y fomentando la curiosidad científica, ya que, como las matemáticas, el origami es infinito.

En los últimos 30 años se han realizado grandes avances en el plegado de figuras por la incorporación de artistas con conocimiento matemáticos, los cuales han creado teoremas y técnicas para diseñar de la forma más eficiente posible con respecto al uso del papel. Es sorprendente lo tardío de estos avances ya que muchos de los teoremas son problemas resueltos y conocidos en el campo de la geometría. Otros como el uso del lagrangeano para minimizar una función sujeta a restricciones es ampliamente sabido desde muchisimos años atrás, pero que no había sido utilizada para resolver diseños de figuras plegadas en papel. Inicialmente los artistas probaban a dar con la figura segun su experiencia, ocupando bases típicas sin recurrir a las matemáticas. Actualmente basta aplicar una metodología específica para llegar a nuevas formas. Esta metología se establece con ayuda de teoremas que resumen lo que es o no es posible llevar a cabo.

Se han realizado numerosos estudios matemáticos acerca del arte del plegado de papel papiroflexia u origami. Los aspectos que han despertado interés matemático incluyen la capacidad de aplastar sin dañar una determinada figura de papel (problema conocido como flat-foldability, o doblez plana), y el uso de dobleces de papel para resolver ecuaciones matemáticas.

Se ha demostrado que algunos problemas geométricos de construcción clásicos, como trisecar un ángulo cualquiera o duplicar el volumen de un cubo cualquiera, no se pueden resolver utilizando regla y compás, pero se pueden resolver bastante fácilmente con unos pliegues de papel. Se pueden realizar pliegues de papel para resolver ecuaciones de hasta cuarto grado yecuaciones polinomiales – las cuales sólo contienen términos del tipo a_nxⁿ– (los aximomas de Huzita-Hatori son una importante contribución a este campo de estudio).

Como resultado del estudio del Origami a través de la aplicación de principios de geometría, métodos como el Teorema de Haga han permitido doblar precisamente el lado de un cuadrado en tres, cinco, siete y nueve partes. Otros teoremas y métodos han permitido derivar otras formas a partir de un cuadrado, tales como triángulos equiláteros, pentágonos, hexágonos, y rectángulosde características especiales tales como el rectángulo dorado o el rectángulo de plata.

El problema del origami rígido, que trata los pliegues como líneas que unen dos superficies planas rígidas tales como pletinas, tiene gran importancia práctica. Por ejemplo, el pliegue de mapa de Miura es un pliegue rígido que se ha utilizado para desplegar grandes paneles solares de satélites espaciales.

La obtención de un modelo plano a partir de un patrón arrugado es un proceso que Marshall Bern y Barry Hayes han demostrado que es NP-completo. [1] Se discuten referencias adicionales y resultados técnicos en la Parte II de Geometric Folding Algorithms. ¹¹

La función de pérdida de doblar un papel en dos en una única dirección se ha determinado como , donde L es la longitud mínima del papel (u otro material), t es el grosor del material, y n es el número de pliegues posibles. Esta función fue publicada por Britney Gallivan en 2001 (por entonces todavía estudiante de secundaria, que logró doblar una hoja de papel por la mitad 12 veces. Hasta entonces se había creído popularmente que el papel de cualquier tamaño no podía doblarse más de 8 veces.

Algunos de los teoremas son:

1.      Teorema de Maekawas: señala que la diferencia entre montes y valles debe ser siempre 2.

2.      Teorema de Kawasaki: Todos los vertices interiores suman 180

También existen axiomas relacionados con la gemetría del origami definidos por Humiaki Huzita, basados en 6 pliegues básicos que permiten analizar la geometría de cualquier origami:

1.      Axioma 1: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que los une. Un único pliegue pasa por 2 puntos P y Q específicos

2.      Axioma 2: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que sitúa a P sobre Q. En otras palabras un único pliegue lleva a un punto P sobre un punto Q.

3.      Axioma 3: Dado un punto P y una recta r se puede realizar el pliegue perpendicular a r que pasa por P

4.      Axioma 4: Dadas dos rectas r y s se puede realizar un pliegue que situe a r sobre s.

5.      Axioma 5: Dados dos puntos P y Q y una recta r podemos realizar un pliegue que situe a P sobre r y pase por Q.

6.      Axioma 6: Dados dos puntos P y Q y dos rectas r y s se puede realizar un pliegue que sit´ue a P sobre r y a Q sobre s.

El origami además de crear sus propias reglas relacionadas a la geometría Euclideana, también brinda a la educación una herramienta importante para mejorar las capacidades de concentración, memoria, análisis y desarrollo de conceptos geométricos por medio de la activación del pensamiento lógico-espacial y el desarrollo de las destrezas psicomotrices.

Papel

En el origami tradicional, que ocupa una sola hoja de papel cuadrado, sin tijeras ni pegamento. Es muy importante el tipo de papel a utilizar sobre todo en modelos de gran complejidad. Cada doblador debe realizar una búsqueda de papel, hasta dar con el que se sienta más cómodo. Suele ocurrir que se encuentran distintos papeles adecuados para distinto tipo de figuras. En general Michell LaFosse recomienda que ¹² :

1.      El papel sea de grano largo, con fibras pero que estas no sean irregulares. El grano largo ayuda a que el papel no sea quebradizo.

Otras recomendaciones :

1.      El papel sandwitch, papel seda hoja de aluminio papel seda. Tiende a usarse para doblar insectos

2.      El papel marca tant. Tiende a usarse para figuras robustas como por ejemplo elefantes.

3.      Figuras de dificultad media y basica pueden doblarse con cualquier papel.

Kirigami y Makigami

Otras formas de arte con papel son el kirigami y el makigami, totalmente distintos al origami.

El kirigami es el arte y la técnica de cortar el papel dibujando con las tijeras. Se diferencia de los "recortables" en que estos últimos necesitan de un trazo o dibujo previo y en el kirigami se recortan las figuras directamente con las tijeras, lo que lo convierte en una técnica muy creativa. Su término deriva de las palabras japonesas kiru, que significa cortar, y gami, papel. El kirigami tiene muchas variantes. El kirigami milenario practicado en oriente desarrolla modelos decorativos y muy artísticos. Hay un kirigami arquitectónico que usando cuchillas desarrolla modelos muy elaborados. También existe una variante educativa del kirigami, desarrollada especialmente en Sudamérica, la cual se usa como técnica y material educativo. Para ello se han creado dinámicas, juegos y aplicaciones didácticas del recorte del papel.

El makigami es el arte y técnica de trabajar el papel rasgando, uniendo, doblando y arrugando únicamente con las manos. Podemos entenderla como "kirigami con las manos". Estas técnicas permiten y promueven el trabajo en conjunto, el desarrollo de la creatividad, la integración de áreas y tiene una fuerte influencia en el desarrollo de la inteligencia emocional de los niños al influir en su autoestima positiva. Se tiene que aclarar que, tanto en el origami como en el kirigami y el makigami, sus beneficios y sus metas concuerdan, pero la técnica es la que se debe diferenciar; aunque en el origami también esta permitido el uso de pinzas y tijeras especialmente para darle la forma deseada para generar la figura antes de comenzar a plegar la hoja de papel.

El Origami en Occidente

El origami llegó a Occidente cuando había terminado la Ruta de la Seda al Este Cercano. El papel hizo su aparición cuando Marco Polo llevó el origami en el siglo XIII, pero no fue bien recibido por los europeos. En el Occidente prefirieron el pergamino para empapelar.

El papel no duró más que el pergamino pero se aceptó finalmente por las ventajas que tenía a favor: porque era más fácil de manipular y el producto era menos caro. La invención de la prensaayudó después en su aceptación.

Sus orígenes también se remontan a la Invasión árabe en el siglo VIII, cuando trasladaban los prisioneros chinos a Samarcanda en el año 751. De los prisioneros aprendieron a hacer y a doblar papel, inicialmente figuras clásicas simples como animales. Desde que la religión musulmana prohibió la representación del ser humano y las formas animales en el arte, por la creencia de la idolatría a imágenes, entonces sus investigaciones en papiroflexia iban dirigidas al estudio de formas geométricas y el estudio matemático de los patrones lineales que quedan al doblar el papel. Como máxima expresión de esta actividad fueron los edificios de arquitectura morisca, en la cual utilizaron esos mismos patrones para su diseño.

Existen actualmente una infinidad de teoremas y principios relacionados con el doblado de papel, muchos de los cuales han desarrollado nuevos conceptos de matemática aplicada, como por ejemplo en la topografía. Después de que los árabes fueran expulsados de España durante la Reconquista, los españoles se quedaron con los diseños y desarrollos, incorporando formas que representaban la naturaleza.

Encuentro entre Oriente y Occidente

Hace unos 100 años tuvieron lugar cambios decisivos en Japón, ya que los norteamericanos querían extender su comercio hacia Asia y necesitaban concesiones y socios en esta región. Bajo la amenaza de emplear las armas obligaron a los japoneses a abrir sus puertos. Japón reabrió sus puertas al mundo en el año 1854 gracias al comodoro norteamericano Perry, después de siglos de aislamiento.

Todos estos acontecimientos sociales y culturales repercutieron de forma significativa en el Origami clásico (el Orikata), naciendo así el Origami moderno. En el Origami clásico se recortaba, pegaba y pintaba. Para el Origami "las tijeras son tabú", "la pintura se debe evitar" y "la utilización del pegamento es impensable". La forma pura, lograda solamente mediante el plegado, debe responder de sí misma. No existe otro elemento de configuración que el material en su estructura, dibujo o color. Así los maestros japoneses crearon las nuevas normas para el origami moderno.

En la Exposición Universal de París en 1878, durante el Período Meiji, se fusionan los conocimientos orientales y occidentales, creando así un solo origami, un solo arte, el cual había evolucionado aisladamente. A finales del siglo XIX, Friedrich Fröebel, incorpora y desarrolla el origami en sus técnicas de enseñanza a nivel escolar, siendo adoptado rápidamente en los jardines infantiles japoneses por la utilidad en el preescolar para enseñar las figuras geométricas, entre otros beneficios que brinda el origami en la educación. Por esta época, un vendedor europeo llevó a Tokio papel de colores, desconocido allá, este tuvo una amplia acogida que hizo que el origami mejorara su calidad en la realización de los modelos.

Miguel de Unamuno, la llegada al mundo hispano

En lo que respecta a los países hispanohablantes, tanto en España como América del Sur, quien introdujo realmente y propulsó el origami, fue el escritor español Miguel de Unamuno alrededor de la década de 1930. Ya que hasta entonces, el origami apenas había tenido influencia en la península, pues pese a haber sido introducido por los árabes, en la Europa Medieval lo que se utilizaba era el papiro, un material bastante 'tosco' si lo comparamos con el ligero papel de arroz oriental. Por eso, cobra notoria importancia Miguel de Unamuno pues es el primero que realmente se tomó en serio hacer "pajaritas de papel".

Otro de los aspectos por los que se destacó fue por escribir, además de multitud de obras literarias de gran relevancia, una especie de tratado acerca de la 'cocotología'; término creado por el propio Unamuno para designar al origami, que deriva de 'cocotte' que significa algo así como 'gallina' o 'pajarita' en francés. Además, Miguel de Unamuno publicó varios libros de plegado, entre ellos el ensayo "Amor y Pedagogía", donde habla del origami en el apéndice.

Así pues, Miguel de Unamuno además de su consecuencias en la península ibérica, tuvo también una enorme influencia en América del Sur. Es más, podríamos decir que es el padre de la papiroflexia hispanoamericana pues, al igual que en España, la papiroflexia tenía hasta entonces muy poca relevancia. Sin embargo, la papiroflexia como tal, tuvo mayor aceptación en América del Sur donde hoy día tiene muchos seguidores y han surgido grandes papirofléxicos como por ejemplo los argentinos Vicente Solórzano Sagredo y Ligia Montoya quienes practicaron la papiroflexia, dándole gran importancia a este arte de plegados y figuras inimaginables, entre otros.

Popularización del arte

Durante esta misma década, los educadores impusieron que los estudiantes en sus creaciones mostraran originalidad y creatividad, por lo tanto, el origami fue rechazado por faltar en los requisitos anteriores, pero asegurado el paperfolding por su historia milenaria, recobró su popularidad una vez más gracias al revolucionario del Origami del siglo XX: Akira Yoshizawa -el genio del origami, quien ha realizado más de 50.000 trabajos y hoy en día crea nuevos modelos prodigiosos- fue quien desarrolló las nuevas formas de sobrevivir a los modelos tradicionales restableciendo el origami como forma de arte creativa, poniendo énfasis en la sensibilidad de la forma y exactitud en el plano a trabajar. Los hechos y el renacimiento que sufrió el origami ocurrió en el Período Taisho.

Trabajando en las ideas que ayudaron a seguir en pie al origami, a mediados del Período Showa, Yoshizawa, conoce a Sam Randlett y hacia la década de 1950 crearon un código internacional para representar los dobleces que componían las figuras para poder ser realizadas, las cuales son las que actualmente se utilizan como herramienta para el desarrollo de los plegados. A partir de este sistema de líneas, la publicación de libros aumentó considerablemente, inicialmente en el Japón con Isao Honda y luego en Inglaterra con Robert Harbin. Esto hizo que la gente comenzara a agruparse y en 1958 se creó FOCA ("Friends of Origami Center of América", actualmente Origami USA), en 1967 la British Origami Society y así se desarrollaron grupos en todos los países como Francia (1978) y España (1981).

Actualmente existen autores de renombre mundial como Kunihiko Kasahara y Tomoko Fuse en Japón, Robert Lang y John Montroll en Estados Unidos, Vicente Palacios en España, Peter Budai en Hungría (quien publicó su primer libro a los 12 años). Aparte de eso hay muchos origamistas, que aunque no han publicado mucho son muy conocidos en el mundo de origami, comoJeremy Shafer, Tom Hull y Mette Pederson en Estados Unidos, Joseph Wu en Canadá; Alfredo Guinta en Italia, Marteen Van Gelder en Holanda y otros muchos que harían una lista interminable.

Prontamente, la papiroflexia pasa rápidamente al olvido, pero seguía latente en sus raíces, de este modo se volvió a recordar este precioso arte reanudando la tradición del noshi, colocándolo en un regalo para recordar que el obsequiar este plegado, según la tradición japonesa, da buena suerte a quien lo recibe.

Actualmente el origami está en el Período Heisei, el cual es una etapa de un cambio en su concepción. Años anteriores se lo consideraba como una artesanía, ahora como un arte incluido entre las aficiones intelectuales y científicas.

Con el origami se hace posible elaborar lo pensado y lo inimaginable, todo lo que constituye el medio que nos rodea y en el cual vivimos: Fauna y flora de todos los continentes, la vida urbana,herramientas de nuestra cotidianidad, dinosaurios, dragones, estrellas y otros astros que imiten el universo.

La materialización de las ideas y el uso que ofrece

Toda innovación del ser humano es para beneficio de él mismo, pese a que no se tenga en mente, para bien o para mal. El origami no es la excepción, pues si se analiza desde una perspectiva más objetiva, se encuentra en los lugares menos pensados, como la pedagogía.

El origami es una gran ayuda en la educación, trayendo a quien lo ejercita grandes beneficios y grandes cualidades, no sólo a los estudiantes que lo realicen, sino también le será bueno a cualquier persona; algunas de ellas son:

§  Desarrollar la destreza, exactitud y precisión manual, requiriendo atención y concentración en la elaboración de figuras en papel que se necesite.

§  Crear espacios de motivación personal para desarrollar la creatividad y medir el grado de coordinación entre lo real y lo abstracto.

§  Incitar al alumno a que sea capaz de crear sus propios modelos.

§  Brindar momentos de esparcimiento y distracción.

§  Fortalecimiento de la autoestima a través de la elaboración de sus propias creaciones.

Si se incentiva en un niño el trabajo manual desde pequeño, seguramente crecerá desarrollando habilidades artísticas y estará en capacidad de ubicar espacialmente un objeto cualquiera en un papel, acción que muchos niños no pueden hacer, precisamente porque no potenció en los primeros años de su vida el trabajo manual.

Lo ideal es que comiencen una actividad manual a edad temprana, ya que está comprobado que el entrenamiento de los dedos de un bebé acelera el proceso de maduración del cerebro, porque el ejercitar el movimiento de los dedos de ambas manos es realmente una base de desarrollo bilateral del cerebro y el adelanto del desarrollo intelectual, aprovechando que el cerebro está en su mayor plasticidad.

El trabajo de coordinación de ambas manos, el trabajo activo de la inteligencia y la atención es necesaria en el desarrollo y en el empleo del origami porque necesita la memoria, la imaginacióny el pensamiento. Como se envuelven las manos activamente en trabajo, hay un masaje natural en la punta de los dedos por turnos saludablemente, afectando el equilibrio dinámico de los procesos de excitación en la corteza cerebral, frenando en las áreas corticales del cerebro. El espectro de movimientos de las palmas y dedos también se extiende por el impulso motor de las zonas de la corteza de los largos hemisferios que están activados. Las ricas comunicaciones del analizador del impulso con varias estructuras del cerebro, permite la actividad se transfiera de últimas. El trabajo de coordinación con las manos, requiere suficiente actividad del cerebro y un armonioso trabajo con las diferentes estructuras.

El origami por su naturaleza es un arte para ambas manos y da una compensación directa en satisfacción de una cierta condición creadora, es por ello que esta técnica servirá de soporte en la formación integral del profesional, adquiriendo así nuevas formas de comunicarse con los demás, e implícitamente crear un ambiente que le permita interactuar con una población determinada.

Programas para diseño y diagramas

Existen dos programas conocidos Doodle y TreeMaker Doodle creado por Jérôme Gout, Xavier Fouchet, Vincent Osele, y otros voluntarios. Usa código ASCII para generar diagramas de origami, el resultado es elegante, pero difícil de usar. http://doodle.sourceforge.net/ permite crear el diagrama de una figura de origami a partir de líneas de un código propio un archivo *.ps ,semejante al formato pdf, que contiene los pasos con texto y figura. Desde el 2001 el proyecto parece estar en desarrollo para conseguir una versión para usuario final, aunque pareciera estar congelado por falta de programadores. Doodle en su version funcional está escrito en C y es open source, en cambio Doodle 2 también open source está escrito en java y pretende tener una interfaz gráfica.

TreeMaker por Robert Lang http://www.langorigami.com/science/treemaker/treemaker5.php4 que está orientado solamente al diseño, crea el patrón de pliegues (no realiza diagramas). Crea en la hoja los pliegues necesarios para doblar mostrando solamente una vision de los montes y valles (como cuando se realiza una figura y se desarma completamente). Con ello es posible saber que partes del papel darán origen a la cola, patas, cabeza si es que se diseñara un animal. TreeMaker está programado en C y es open source.

Foldinator http://zingman.com/origami/foldinator3OSMEpaper.php pretende ser un programa para el diseño de diagramas.

Psicología y pedagogía en el Origami

Ahora relacionemos la rama de la pedagogía con su compañera de siempre: La psicología.

Se ha comprobado que la papiroflexia ayuda a los problemas psíquicos y psicológicos, ya que el estar concentrado realizando una actividad manual ayuda al desahogo, estimula los procesos mentales que, su finalidad es alejar al paciente de sus obsesiones y temores. En algunas universidades israelíes se realizan estudios vinculados con estudiantes que presentan déficit atencional y que son fuertemente estimulados mediante el mecanismo de doblar papel; en el Hospital Carlos Holmes Trujillo, de Cali, este arte se está utilizando desde hace unos años en el tratamiento de niños con problemas emocionales como dificultades de atención, expresión e hiperactividad.

La papiroflexia utilizada como herramienta o como terapia, en una sesión, se comparten sentimientos y conocimientos, ayuda a resolver los problemas, se experimenta una comunicación no verbal, un escenario de metas u objetivos, una oportunidad de un acercamiento no amenazante, un apoyo psicológico (llevar al sentimiento de la aceptación cuando se toma tiempo para demostrar lo positivo), una oportunidad para disfrutar y relajar un futuro pasatiempo, entre otras experiencias que se viven cuando se aplica el origami para la rehabilitación del paciente.

Personajes del mundo de la papiroflexia

Personajes en el mundo de la papiroflexia que han demostrado teoremas que llevan su nombre son: Humiaki Huzita, Jun Maekawa, Toshikazu Kawasaki, Robert Lang, Shuzu Fujimoto, Chris Palmer, entre otros.

En el campo de la informática, el Dr. Robert Lang, en Física aplicada en Caltech, ha desarrollado el origami computacional, que es una serie de algoritmos para el doblado de las figuras. Actualmente el Dr. Robert Lang trabaja desarrollando proyectos que vinculan al origami con problemas de ingeniería. Su libro[ref origami design secrets] es una excelente referencia para aprender a diseñar figuras nuevas y mejorar las existentes, en el se pueden aprender las tecnicas modernas para crear figuras con todas sus partes.

La mayoría de la gente conoce el origami por sus avioncitos de papel o por sus barquitos, con los cuales se hacen competencias de niños. Pero esto de hacer avioncitos salió desde el siglo pasado cuando varios eruditos intentaron hacer una figura con papel que volase, o por lo menos que se mantuviera en el aire, esto se consiguió con gran éxito y hasta la fecha es por ahí donde se ha trasmitido de padres a hijos el origami. Pero más que un entretenimiento debemos mencionar el deseo del hombre por alcanzar el cielo y en su afán buscó todos los medios para poner a volar su imaginación. Gracias a los modelos de aviones de papel, podían hacer estudios detallados del comportamiento del viento con respecto a las alas, o, la influencia del peso en un modelo, y otros muchos factores que ayudaron a mejorar las técnicas de vuelo, la influencia del aire en los alerones y todo un sin fin de operaciones de ingeniería en torno a un avión, un simpleavión de papel con el que juegan los niños.

En muchos países los origamistas trabajan como comisionistas, desarrollan proyectos para publicidad y páginas web de renombradas empresas, son profesores de distintas asignaturas cuyo propósito es hacer conexiones con la papiroflexia, entre otros trabajos.

Sabiendo ahora que es realmente el arte de realizar figuras en papel y el gran campo que abarca, comprendiendo su milenaria pero interesante historia y analizando pero a la vez realizando cada uno nuestra crítica hacia esta hermosa y compleja arte sólo queda hacer la invitación para que tomen una hoja y experimenten esa bonita sensación que, como dijo Katsushika Hokusai: “Un mago es capaz de convertir las hojas de papel en pájaros”.

Artículo Recopilado por Liliana Rodríguez